Question

【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是　 　，MN与EC的数量关系是　 　

（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，见解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系；

（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），进而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，进而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），得出，MN与EC的数量关系．

解：（1），理由如下：

∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，

∴MN是三角形BED的中位线，

∴MN∥BE，MN=BE，

∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，

∴BE=EC，∠AED=90°，

∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN=EC，

故答案为：MN⊥EC，MN=EC；

（2），理由如下：

如下图，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF，

∵BM=MD，∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM（SAS），

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，

∴∠FBC=∠EAC=90°，

而AC＝BC，

∴△EAC≌△FBC（SAS），

∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA，

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°

又点M、N分别是EF、EC的中点

∴MN∥FC，

∴MN⊥EC，

再如下图所示，连接EM并延长交BC于F，

∵∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，

在△EDM和△FBM中，

，

∴△EDM≌△FBM（AAS），

∴BF=DE=AE，EM=FM，

∴.