Question

【题目】发现与探索。

（1）根据小明的解答将下列各式因式分解

① a2－12a＋20；②（a－1）2－8（a－1）＋7；③ a2－6ab＋5b2

（2）根据小丽的思考解决下列问题：

①说明：代数式a2－12a＋20的最小值为－16．

②请仿照小丽的思考解释代数式－（a＋1）2＋8的最大值为8，并求代数式－a2＋12a－8的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①（a－10）（a－2）；②（a－7）（a－3）；③（a－5b）（a－b）；（2）①说明见解析；②﹣a2＋12a－8.的最大值为28.

【解析】（1）①把所给的多项式加上36后再减去36，类比小明的解法，前三项利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；②把所给的多项式加上16后再减去16，类比小明的解法，前三项利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；③把所给的多项式加上9b2后再减去9b2，类比小明的解法，前三项利用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解即可；（2）①把所给的多项式化为（a－6）2－16后，根据非负数的性质可得（a－6）2≥0，当x=6时，所给多项式的最小值为-16；②根据非负数的性质可得无论a取何值－（a＋1）2都小于等于0，再加上8，即可得代数式－（a＋1）2＋8小于等于8，所以－（a＋1）2＋8的最大值为8；把所给的多项式化为﹣（a－6）2＋28后，类比上面的解题方法解答即可.

（1）①a2－12a＋20

原式＝a2－12a＋36－36＋20

＝（a－6）2－42

＝（a－10）（a－2）

②（a－1）2－8（a－1）＋12

原式＝（a－1）2－8（a－1）＋16－16＋12

＝（a－5）2－22

＝（a－7）（a－3）

③a2－6ab＋5b2

原式＝a2－6ab＋9b2－9b2＋5b2

＝（a－3b）2－4b2

＝（a－5b）（a－b）

（2）根据小明的发现结合小丽的思考解决下列问题.

①说明：代数式a2－12a＋20的最小值为﹣16.

a2－12a＋20

原式＝a2－12a＋36－36＋20

＝（a－6）2－16

无论a取何值（a－6）2都大于等于0，再加上﹣16，

则代数式（a－6）2－16大于等于－16，

则a2－12a＋20的最小值为－16

②无论a取何值－（a＋1）2都小于等于0，再加上8，

则代数式－（a＋1）2＋8小于等于8，

则－（a＋1）2＋8的最大值为8

﹣a2＋12a－8.

原式＝﹣（a2－12a＋8）

＝﹣（a2－12a＋36－36＋8）

＝﹣（a－6）2＋36－8

＝﹣（a－6）2＋28

无论a取何值﹣（a－6）2都小于等于0，再加上28，

则代数式﹣（a－6）2＋28小于等于28，

则﹣a2＋12a－8的最大值为28.