Question

8．如图，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（-2，5）三点，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BC、CD、BD，求tan∠BCD；
（3）△BCD的外接圆⊙M与x轴的另一个交点为E，与y轴的另一个交点为F．
①连结DE、EF，求△DEF的面积；
②抛物线上是否存在点P，使得∠BDP=∠BCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=a（x+1）（x-3），根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的解析式得到D（0，-3），再结合已知条件根据三角函数即可求解；
（3）①先根据∠CBD=90°，得到CD为⊙M的直径，根据中点坐标公式可得M（-1，1），OE=5，作MH⊥DF，垂足H，得到DF=BE=8，再根据三角形面积公式即可求解；
②分两种情况：当点P在x轴上方时；当点P在x轴下方时；根据相似三角形的判定和性质进行讨论即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）令y=a（x+1）（x-3），
代入（-2，5），得a（-2+1）（-2-3）=5，
解得a=1，
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；       
（2）D（0，-3），
∵B（3，0），
∴OB=OD，
∴∠OBD=45°，$BD=3\sqrt{2}$
∵C（-2，5），
∴$tan∠CBO=\frac{5}{3-（-2）}=1$，
∴∠CBO=45°，$BC=5\sqrt{2}$，
∴∠CBD=90°，
∴$tan∠BCD=\frac{{3\sqrt{2}}}{{5\sqrt{2}}}=\frac{3}{5}$；      
（3）①∵∠CBD=90°，
∴CD为⊙M的直径，
∵C（-2，5），D（0，-3），
∴M（-1，1），
∵A（-1，0），
∴AM⊥BE，
∴BE=2AB=8，
∴E（-5，0），
∴OE=5，
如图1，作MH⊥DF，垂足H，
∵MH⊥MA，
∴DF=BE=8，
∴${S_{△DEF}}=\frac{8×5}{2}=20$； 
②如图2，当点P在x轴上方时，设DP交x轴于点N．
∵∠BDP=∠BED，∠DBN=∠EBD，
∴△BDN∽△BED，
∴BD²=BN•BE，
∴$BN=\frac{9}{4}$，
∴N（$\frac{3}{4}$，0），
∴直线DN的解析式y=4x-3，
由题意得x²-2x-3=4x-3，
解得x₁=0，x₂=6，
∴P（6，21），
如图3，当点P在x轴下方时，设DP交x轴于点G，CD交x轴于点I．
可求得直线CD的解析式y=-4x-3，
∴I（$-\frac{3}{4}$，0），
∵∠BDP=∠BED=∠BCD，
∴∠CDP=∠BDP+∠CDB=∠BCD+∠CDB=90°，
∵OD⊥AG，
∴∠IDO=∠OGD，
∵∠IOD=∠DOG=90°，
∴△IOD∽△DOG，
∴OD²=OG•OI，
∴OG=12，
∴G（12，0），
∴直线DG的解析式$y=\frac{1}{4}x-3$，
由题意得${x^2}-2x-3=\frac{1}{4}x-3$，
解得${x_1}=0，{x_2}=\frac{9}{4}$，
∴P（$\frac{9}{4}$，$-\frac{39}{16}$）
∴点P的坐标为（6，21）或（$\frac{9}{4}$，$-\frac{39}{16}$）．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法可求抛物线的解析式，坐标轴上点的坐标特征，三角函数，中点坐标公式，三角形面积，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．