Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是50°．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（3）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．

解答 解：（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B-90°．
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°-2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B-90°．
（3）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，
∴BC=6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

点评 本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB=PA．