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如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s).
(1)求x为何值时,PQ⊥AC;
(2)当0<x<2时,求证:AD平分△PQD的面积;
(3)①设△PQD的面积为y(cm2),求y关于x的函数关系式,及自变量x的取值范围.
②△PQD的面积是否有最大值?若有,请求出这个最大值,及此时x的值;若没有,请说明理由.
考点:二次函数综合题
专题:
分析:(1)若使PQ⊥AC,则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长,再根据30度的直角三角形的性质列方程求解;
(2)根据三角形的面积公式,要证明AD平分△PQD的面积,只需证明O是PQ的中点.再根据平行线等分线段定理即可证明;
(3)①根据CQ=2t,∠C=60°,得出QE=CQ•sin60°=
3
x,进而求出面积即可,②利用二次函数的性质即可求出△PQD面积的最大值.
解答:(1)解:当Q在AC上时,由题意得,BP=t,CQ=2t,PC=4-t;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-t=2×2t,
∴t=
4
5

当Q在AB上时,由题意得,BP=t,AQ=2t-4,则BQ=4-(2t-4)=8-2t,
∵AB=BC=CA=4,∴∠B=60°;
若PQ⊥AB,则有∠QPB=30°,
∴PB=2BQ,
∴t=2(8-2t),
解得:t=
16
5
(满足条件2≤t≤4),
即当t=
16
5
时,PQ⊥AB;
(2)证明:作QE⊥DC于E,
当0<t<2时,点P在BD上,在△QPC中,QC=2t,∠C=60°;
∵QE⊥DC,
∴EC=
1
2
QC=t,
∴BP=EC,
∵BD=CD.
∴DP=DE;
∵AD⊥BC,QE⊥BC,
∴∠ADC=∠QEC,
∴AD∥QE,
∴OP=OQ,
∴S△PDO=S△DQO
∴AD平分△PQD的面积;
(3)①解:∵当0<t<2时,
CQ=2t,∠C=60°,
∴QE=CQ•sin60°=
3
t,
PD=2-t,
∴△PQD的面积为:y=
1
2
×PD×EQ=
1
2
(2-t)•
3
t=-
3
2
t2+
3
t=-
3
2
(t-1)2+
3
2

②△PQD的面积有最大值,
理由如下:由①可知y=
1
2
×PD×EQ=
1
2
(2-t)•
3
t=-
3
2
t2+
3
t=-
3
2
(t-1)2+
3
2

∴当t=1时,△PQD面积有最大值为:
3
2
点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的面积求法,综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质,解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度,本题有一定的综合性,难度中等.
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1
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3
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0.

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