Question

已知：抛物线y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a取何值时，抛物线y=x²+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点．
（2）设这个二次函数的图象与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂的平方和为3，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用关于x的一元二次方程x²+ax+a-2=0的根的判别式的符号进行证明；
（2）利用根与系数的关系写出x₁、x₂的平方和是x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁．x₂=a²-2a+4=3，由此可以求得a的值．

解答：（1）证明：△=a²-4（a-2），=（a-2）²+4．
∴不论a取何值时，抛物线y=x²+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点；

（2）解：∵x₁+x₂=-a，x₁．x₂=a-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁．x₂=a²-2a+4=3
∴a=1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意一元二次方程与二次函数解析式间的转化关系．