Question

阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”． 　　(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF． 　　易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小． 证明如下： 　　易知，这三个矩形的面积相等，令其为S设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，则 　　L1＝＋2a，L2＝＋2b，L3＝＋2c． 　　∴L1－L2＝(＋2a)－(＋2b)＝2(a－b)， 　　而ab＞S，a＞b， 　　∴L1－L2＞0，即L1＞L2． 　　同理可得，L2＞L3． 　　∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．