分析 设EG=x,则BG=$\frac{4}{3}$x,CE=4-$\frac{4}{3}$x,DE=5-$\frac{16}{12}$x,利用矩形的面积公式即可得到矩形DEFG的面积和x的函数关系,利用函数的性质即可求出其最大值.
解答 解:∵四边形DEFG是矩形,
∴DE∥FG,
∴△CDE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{BC}$,
设EG=x,长方形DEGF的面积为y,
则BG=$\frac{4}{3}$x,CE=4-$\frac{4}{3}$x,DE=5-$\frac{16}{12}$x,
矩形面积S=x(5-$\frac{16}{12}$x)=-$\frac{16}{12}$(x-$\frac{6}{5}$)2+3,
∴当x=$\frac{6}{5}$时,矩形的面积最大为3.
故答案为:3.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用,以及二次函数求最值的问题,只要能熟练掌握,便能很容易的解决问题.
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