Question

6．在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，使∠DAF=∠BAC，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CF；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时．
①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②延长BA交CF于点G，连接GE，若AB=2$\sqrt{2}$，CD=BC，请求出GE的长．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；
（2）①由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；
②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证出∠ADH=∠DEM，由AAS证明△ADH≌△DEM，得出EM=DH=6，DM=AH=2，得出CN=EM=6，EN=CM=6，证出△BCG是等腰直角三角形，得出CG=BC=4，求出GN=2，由勾股定理求出GE的长即可．

解答 （1）证明：菱形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}&{\;}\\{∠BAD=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴BD=CF；

（2）解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下：
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF
在△DAB与△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}&{\;}\\{∠BAD=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴BD=CF；
②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=4，AH=BH=HC=2，
∴CD=BC=4，
∴DH=6，CF=BD=8，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠DEM}&{\;}\\{∠AHD=∠DME}&{\;}\\{AD=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM=DH=6，DM=AH=2，
∴CN=EM=6，EN=CM=6，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=2，
∴GE=$\sqrt{G{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．