Question

若两条平行线被第三条直线所截，则同位角的平分线互相______；内错角的平分线互相______；同旁内角的平分线互相______．

Answer 1

（1）如图1，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠BOE、∠DMO的平分线．
∵AB∥CD，
∴∠BOE=∠DMO（两直线平行，同位角相等）．
∵OP、MN分别是∠BOE、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠BOE，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（同位角相等，两直线平行）；

（2）如图2，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠AOM、∠DMO的平分线．
∵AB∥CD，
∴∠AOM=∠DMO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP、MN分别是∠AOM、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠AOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（内错角相等，两直线平行）；

（3）如图3，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠BOM、∠DMO的平分线，并相交于点H．
∵AB∥CD，
∴∠BOM+∠DMO=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵OP、MN分别是∠BOM、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠BOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1+∠2=90°，
在△OMH中，
∠1+∠2+∠OHM=180°，
∴∠OHM=180°-90°=90°，
即OP⊥MN．