Question

6．如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=4，点B的坐标为（-1，0），点C在y轴的正半轴，线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点E，与AC交于点D，在对称釉上，是否存在点P，使以点P，C，D点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（Ⅲ）若在对称轴上有两个动点P和Q（点P在点Q的上方），且PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，请求出使四边形BCFE最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出OB=3，B（3，0），再证明Rt△OCB∽Rt△OAC，则可利用相似比计算出OC=$\sqrt{3}$，得到C（0，$\sqrt{3}$），然后利用待定系数法，运用交点式求出抛物线解析式；
（2）把（1）中解析式配成顶点式得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则E（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），抛物线对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于H点，如图1，易得∠OAC=30°，所以AC=2OC=2$\sqrt{3}$，再在Rt△AHD中计算出DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=AC-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由于∠CDP=∠EDA，根据相似三角形的判定方法，当$\frac{DP}{DE}$=$\frac{DC}{DA}$，△DPC∽△DEA；当DP：DA=DC：DE，△DPC∽△DAE，然后分别求出DP即可得到对应的P点坐标；
（3）在y轴上截取CG=PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，如图2，连结AG交直线x=1于点Q，利用对称性得QB=QA，易得四边形PQGC为平行四边形，则GQ=PC，所以PC+BQ=QG+AQ=AG，根据两点之间线段最短得此时PC+BQ最小，加上BC和PQ为定值，于是可判断此时四边形BCPQ的周长最小，接着利用待定系数法确定直线AG的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后求出Q点坐标，从而可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵AB=4，点B的坐标为（-1，0），
∴OB=3，B（3，0），
∵∠BCO+∠CBO=90°，∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∴Rt△OCB∽Rt△OAC，
∴OC：OA=OB：OC，即OC：3=1：OC，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，$\sqrt{3}$）代入得-3a=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）存在．
y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则E（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
抛物线对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于H点，如图1，
在Rt△AOC中，∵OC=$\sqrt{3}$，OA=3，
∴tan∠OAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAC=30°，
∴AC=2OC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHD中，AH=2，
∴DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=AC-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵∠CDP=∠EDA，
∴当$\frac{DP}{DE}$=$\frac{DC}{DA}$，△DPC∽△DEA，即DP：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时P点坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
当DP：DA=DC：DE，△DPC∽△DAE，即DP：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得DP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时P点坐标为（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（3）在y轴上截取CG=PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，如图2，
连结AG交直线x=1于点Q，则QB=QA，
∵PQ∥CG，PQ=CG，
∴四边形PQGC为平行四边形，
∴GQ=PC，
∴PC+BQ=QG+AQ=AG，此时PC+BQ最小，
而BC和PQ为定值，
∴此时四边形BCPQ的周长最小，
设直线AG的解析式为y=mx+n，
把A（3，0），G（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2\sqrt{3}}{9}}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AG的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当x=1时，y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
∴Q点坐标为（1，$\frac{4\sqrt{3}}{9}$），
∴P点坐标为（1，$\frac{7\sqrt{3}}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求抛物线解析式；灵活相似三角形的判定与性质；利用两点之间线段最短解决最短路径问题；能应用分类讨论的思想解决数学问题．