如图1.已知直线l.y=2x-2分别与x轴.y轴交于点A.B两点.C为l在一象限内的一点.且AC=2$\sqrt{5}$.抛物线y=ax2+bx-8过A.C两点.且与x轴的另一交点为D．(1)求抛物线的解析式,(2)如图2.若抛物线y=ax2+bx-8的顶点为E.P为直线AC上的一动点.当|PD-PE|值最大时.求此时点P的坐标及|PD-PE|的最大值,(3)如图3.若点M为x轴上一点.点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图1，已知直线l，y=2x-2分别与x轴、y轴交于点A、B两点，C为l在一象限内的一点，且AC=2$\sqrt{5}$，抛物线y=ax²+bx-8过A、C两点，且与x轴的另一交点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若抛物线y=ax²+bx-8的顶点为E，P为直线AC上的一动点，当|PD-PE|值最大时，求此时点P的坐标及|PD-PE|的最大值；
（3）如图3，若点M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标．

分析（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据两点间的距离，可得C点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）如图2中，作D关于直线AC的对称点D′，连接DD′交AC于H，连接DE由此DE交CC于P，此时|PD-EP|的值最大．
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得M点坐标，根据平行四边形的性质，可得答案．

解答解：（1）设C点坐标为（m，2m-2），
当y=0时，2x-2=0，解得x=1，即A（1，0），
由AC=2$\sqrt{5}$，得
（m-1）²+（2m-2）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得m=3，m=-1（舍），2m-2=4，即C（3，4），
将A，C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-8=4}\\{a+b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-2x²+10x-8；

（2）配方，得
y=-2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{2}$
即E（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
当y=0时，=-2x²+10x-8=0，解得x=1（舍）x=4，即D点坐标为（4，0），
如图2中，作D关于直线AC的对称点D′，连接DD′交AC于H，连接DE由此DE交CC于P，此时|PD-EP|的值最大．

∵直线DD′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$可得H（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴D′（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴直线D′E的解析式为y=$\frac{7}{11}$x+$\frac{32}{11}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{11}x+\frac{32}{11}}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$可得P（$\frac{18}{5}$，$\frac{26}{5}$），
此时|PD-PE|的最大值=D′E=$\sqrt{（\frac{18}{5}-\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{26}{5}-\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{170}}{10}$．

（3）如图1
，
当y=0时，2x-2=0，解得x=1，即D（1，0），
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠BOD=∠MOB，
∴△BOD∽△MOB，
∴$\frac{MO}{BO}$=$\frac{BO}{OD}$，
解得MO=4，即M（-4，0），
由对角线平分，得
$\frac{{x}_{N}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{{x}_{M}+{x}_{C}}{2}$，即$\frac{{x}_{N}+0}{2}$=$\frac{-4+3}{2}$，即x_N=-1，
$\frac{{y}_{N}+{y}_{B}}{2}$=$\frac{{y}_{M}+{y}_{C}}{2}$，即$\frac{{y}_{N}+（-2）}{2}$=$\frac{0+4}{2}$，即y_N=6，
N点坐标为（-1，6）；
如图2，
作CE⊥OM于E，OE=3，CE=4．
当y=0时，2x-2=0，解得x=1，即D（1，0），
DE=OE-OD=3-1=2．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DEC=∠CEM，
∴△DEC∽△CEM，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{CE}{EM}$，
解得ME=8，即M（11，0），
由矩形的对角线平分，得
$\frac{{x}_{N}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{{x}_{M}+{x}_{C}}{2}$，即$\frac{{x}_{N}+{x}_{C}}{2}$=$\frac{{x}_{B}+{x}_{M}}{2}$，$\frac{{x}_{N}+3}{2}$=$\frac{0+11}{2}$，即x_N=8，
$\frac{{y}_{N}+{y}_{C}}{2}$=$\frac{{y}_{B}+{y}_{M}}{2}$，即$\frac{{y}_{N}+4}{2}$=$\frac{-2+0}{2}$，即y_N=-6，
N点坐标为（8，-6）．
综上所述：若点M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标（8，-6）或（-1，6）．

点评本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用两点之间的距离得出C点坐标，又利用待定系数法；解（2）的关键是两边之差小于第三边得出P是DE与AC的交点；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出M点的坐标，又利用了矩形的性质．

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S=10x

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