若正整系数二次方程4x2+mx+n=0有相异的两个有理根p,q,且p>q,又方程x2-px+2q=0与方程x2-qx+2p=0有一公共根,则方程x2-px+2q=0的另一根为________.
分析:方程4x
2+mx+n=0有相异的两个有理根p,q,方程x
2-px+2q=0与方程x
2-qx+2p=0有一公共根,且p>q,由已知条件先求出m,再求出n的值,根据根与系数的关系即可进行求解.
解答:设方程x
2-px+2q=0与方程x
2-qx+2p=0的公共根为a,则
,
∴(p-q)(a+2)=0,
又∵p>q,∴p-q≠0,即a+2=0,
∴a=-2,代入到x
2-px+2q=0得2
2+2p+2q=0,
∴p+q=-2,
又∵4x
2+mx+n=0有相异二有理根p,q,
∴p+q=
,
∴m=8,而△=m
2-16n>0,
∴8
2-16n>0,n<4,
∵n为正整数,且△=m
2-16n=8
2-16n=16(4-n)为完全平方数,所以4-n=1,得n=3,
由于
,
解得
(舍去)或
,
∴
,
设方程x
2-px+2q=0的另一根为β,则(-2)β=-3,
∴β=
.
故答案为:
点评:本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解,难度较大,主要掌握x
1,x
2是方程x
2+px+q=0的两根时,x
1+x
2=-p,x
1x
2=q.