Question

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，
（1）求证：∠EDC=90°．
（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F（图2），且∠F=55°，求∠ABC．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理列式求出∠CBD+2∠BDC=180°，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠ADB，再根据角平分线的定义可得∠BDE=

1

2

∠ADB，然后求出∠EDC=90°；
（2）设BF、DE相交于点O，根据直角三角形两锐角互余求出∠DOF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OBD+∠ODB，然后根据角平分线的定义求出∠ABD+∠ADB，再根据三角形的内角和定理求出∠A，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．

解答：（1）证明：在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠CBD+2∠BDC=180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=

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2

∠ADB，
∴∠EDC=∠BDE+∠BDC=

1

2

（∠CBD+2∠BDC）=

1

2

×180°=90°，
故：∠EDC=90°；

（2）解：设BF、DE相交于点O，
∵∠EDC=90°，
∴∠FDO=90°，
∴∠DOF=90°-∠F=90°-55°=35°，
由三角形的外角性质，∠OBD+∠ODB=∠DOF=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ABD+∠ADB=2（∠OBD+∠ODB）=2×35°=70°，
在△ABD中，∠A=180°-（∠ABD+∠ADB）=180°-70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．