【题目】(1)抛物线y=ax2﹣2x+2经过点E(2,2),其顶点为C点.
①求抛物线的解析式,并直接写出C点坐标;
②将直线y=x沿y轴向上平移b(b>0)个单位长度交抛物线于A、B两点,若∠ACB=90°,求b的值.
(2)是否存在点D(1,m),使抛物线y=x2﹣x+上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离,若存在,请求点D的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①y=x2﹣2x+2, C(1,1);②b=1;(2存在,D(1,2)
【解析】
(1)①将点E坐标代入解析式可求解;
②如图1,过点C作MN⊥y轴,过点A作AF⊥MN,过点B作BH⊥MN,设平移后直线解析式为:y=x+b,由根与系数关系可得xA+xB=3,xAxB=2﹣b,通过证明△ACF∽△CBH,可得,可求b的值;
(2)设P(a,b),由题意可得b=PD,由两点距离公式可求解.
(1)①∵抛物线y=ax2﹣2x+2经过点E(2,2),
∴2=4a﹣4+2,
∴a=1,
∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x+2,
∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
∴顶点坐标为(1,1);
②如图1,过点C作MN⊥y轴,过点A作AF⊥MN,过点B作BH⊥MN,
设平移后直线解析式为:y=x+b,
∴,
∴x2﹣3x+2﹣b=0,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=3,xAxB=2﹣b,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCH+∠ACF=90°,且∠BCH+∠HBC=90°,
∴∠HBC=∠ACF,且∠BHC=∠AFC=90°,
∴△ACF∽△CBH,
∴,
∴,
∴yAyB+xAxB+2=yA+yB+xA+xB,
∴(xA+b)(xB+b)+2﹣b+2=xA+b+xB+b+3,
∴b2﹣b=0,
∴b=1,b=0(舍去)
(2)设P(a,b),则b=a2﹣a+,
由题可知,b=PD,
∴b2=(a﹣1)2+(m﹣b)2,
∴(4﹣2m)b+m2﹣4=0,
∵任意一点P,
∴4﹣2m=0,
∴m=2,
∴D(1,2).
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【题目】如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动,同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接DE,设运动时间为t(s)(0<t<10),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△BDE的面积为7.5cm2;
(2)在点D,E的运动中,是否存在时间t,使得△BDE与△ABC相似?若存在,请求出对应的时间t;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是定长线段,圆心O是AB的中点,AE、BF为切线,E、F为切点,满足AE=BF在上取动点G,过点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时,设AD=y,BC=x,则y与x所满足的函数关系式为( )
A.正比例函数y=kx(k为常数,k≠0,x>0)B.一次函数y=kx+b(k,b为常数,kb≠0,x>0)
C.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,x>0)D.以上都不是
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【题目】如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转90得到△DEC,∠ACD的平分线CF交DE于点F,连接AE,AF.
(1)求∠CEA度数;
(2)求证AF⊥CE.
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【题目】“大美武汉·诗意江城”,某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校3000名学生中的部分学生,提供四个景点选择:A、黄鹤楼;B、东湖海洋世界;C、极地海洋世界;D、欢乐谷.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1) 一共调查了学生___________人
(2) 扇形统计图中表示“最想去的景点D”的扇形圆心角为___________度
(3) 如果A、B、C、D四个景点提供给学生优惠门票价格分别为20元、30元、40元、60元,根据以上的统计估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是多少元?
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【题目】有两个可以自由转动的质地均匀转盘都被分成了3个全等的扇形,在每一扇形内均标有不同的自然数,如图所示,转动转盘,两个转盘停止后观察并记录两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形).
(1)用列表法或画树形图法求出同时转动两个转盘一次的所有可能结果;
(2)同时转动两个转盘一次,求“记录的两个数字之和为7”的概率.
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【题目】矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为_____.
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【题目】已知二次函数y=ax2+2ax+a2+3(其中x是自变量),当x≤﹣2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为5,则a的值为( )
A.﹣1B.2C.﹣1或2D.或﹣
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【题目】对于题目“一段抛物线L:y=﹣x(x﹣3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值,”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则( )
A. 甲的结果正确
B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确
D. 甲、乙的结果合在一起也不正确
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