Question

【题目】如图，点 是以 为直径的 上一点， 于点 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ， 是 的中点，连接 并延长与 相交于点 ，延长 与 的延长线相交于点 ，且 ．

（1）求证：BF=EF；

（2）求；

（3）求的半径r.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据AD∥EB得到△CAG∽△CEF，△CGD∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论；

（2）求出AH，FH的值，根据tan∠P=tan∠AFH===，即可解决问题；

（3）在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出半径．

(1)∵EB 是切线，AD⊥BC，

∴∠EBC=∠ADC=90°，

∴AD∥ EB，

∴△CAG∽△CEF，△CGD∽△CFB，

∴．

∵AG=GD，

∴EF=FB．

(2)连接AB．过点F作FH⊥AG交AG于点H．

∵BC 是直径，

∴∠BAC=∠BAE=90°．

∵EF=FB，

∴FA=FB=FE=FG=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

∵FA=FG，FH⊥AG，

∴AH=HG．

∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，

∴ 四边形 FBDH 是矩形，

∴FB=DH=3．

∵AG=GD，

∴AH=HG=1，GD=2，FH=．

∵FH∥PD，

∴∠AFH=∠APD，

∴tanP=tan∠AFH=．

(3)设半径为 r，在 Rt△ADO 中，

∵，

∴，

∴．