Question

【题目】已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H

（1）求证：MB=MD；

（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．

证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，

∵∠ABC=∠CDE=90°，

∴AB∥DN，

∴=，

而点M为AE中点，

∴AM=ME，

∴BM=MN，

∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，

∴MB=MD；

（2）∵AB∥NE，

∴==1，即AB=NE，

∵AB=BC，DC=DE，

∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，

∴△BDN为等腰直角三角形，

∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，

∵AB=BC，DC=DE，

∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，

∴∠CED=∠ACB=∠45°，

∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，

∴CE∥BN，AC∥DM，

∴四边形MGCH为平行四边形，

而∠GMH=90°，

∴四边形MGCH为矩形．