Question

20．设a是方程x²+x-$\frac{1}{4}$=0的根，求$\frac{{a}^{3}-1}{{a}^{5}+{a}^{4}-{a}^{3}-{a}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的解的定义得到：a²+a=$\frac{1}{4}$，a²=$\frac{1}{4}$-a，然后将其代入整理后的所求的代数式进行求值即可．

解答 解：把x=a代入x²+x-$\frac{1}{4}$=0得：a²+a-$\frac{1}{4}$=0，
即a²+a=$\frac{1}{4}$，a²=$\frac{1}{4}$-a，
则$\frac{{a}^{3}-1}{{a}^{5}+{a}^{4}-{a}^{3}-{a}^{2}}$=$\frac{（a-1）（{a}^{2}+a+1）}{{a}^{2}（a+1）^{2}（a-1）}$=$\frac{{a}^{2}+a+1}{{a}^{2}（{a}^{2}+2a+1）}$=$\frac{\frac{1}{4}+1}{（\frac{1}{4}-a）（\frac{1}{4}+a+1）}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{16}-a-{a}^{2}}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{16}-\frac{1}{4}}$=20．

点评 本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，利用了“整体代入”的数学思想．