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19.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC位矩形,O为坐标原点,C在x轴上,OA,OC的长满足|OA-5|+(OC-13)2=0.
(1)如图1,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求点D的坐标;
(2)如图2,在OA、OC边上选取适当的点M、N,将△MON沿MN折叠,使O点落在AB边上的F点,过F作G∥y轴交MN于点T,交OC于点G,求证:TG=AM;
(3)在(2)的条件下,设T(x,y),探究y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(4)在(3)的条件下,当x=3时,点Q在坐标轴上,直线MN上存在点P,使以M、F、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出Q点坐标.

分析 (1)在Rt△DBC中,根据DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$,即可解决问题.
(2)只要证明OM=MF,MF=FT即可.
(3)如图3中,连接OT,在Rt△OTG中利用勾股定理即可解决问题.
(4)分MF为对角线,MF为边两种情形讨论即可.

解答 解:(1)如图1中,

∵|OA-5|+(OC-13)2=0,
又∵|OA-5|≥0,(OC-13)2≥0,
∴OA=5,OC=13,
∵△DEC是由△OEC翻折得到,
∴CD=OC=13,
在Rt△DBC中,DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12,
∴AD=1,
∴点D坐标(1,5).

(2)如图2中,

∵MF=MO,∠FMN=∠OMN,
∵OM∥ET,
∴∠OMT=∠FTM,
∴∠FMT=∠FTM,
∴FM=FT,
∴OM=FT,∵OA=FG,
∴AM=TG.

(3)如图3中,连接OT,

由(2)可得OT=FT,
由勾股定理可得x2+y2=(5-y)2
得y=-$\frac{1}{10}$x2+$\frac{5}{2}$.
结合(1)可得AF=OG=1时,x最小,从而x≥1,
当MN恰好平分∠OAB时,AF最大即x最大,
此时G点与N点重合,四边形AONF为正方形,
故x最大为5.
从而x≤5,1≤x≤5.

(4)如图4中,x=3时,y=$\frac{8}{5}$,即点T坐标(3,$\frac{8}{5}$).

∴OM=FT=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$,
①当MF为对角线时,点Q与T重合,PM=FT=$\frac{17}{5}$,
∴OP=$\frac{34}{5}$,
∴此时点P坐标(0,$\frac{34}{5}$).
②FM为边时,∵四边形MFQP是平行四边形,
又∵四边形FMOT是平行四边形,
∴点Q与T重合,点P与点O重合,
∴点P坐标(0,0),
综上所述,以M、F、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时,点Q坐标(0,0)或(0,$\frac{34}{5}$).

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、平行四边形的判定等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会用分类讨论的思想解决问题,属于中考压轴题.

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