Question

8．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM，请判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切；

解答 证明：连接OM．
在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
∴∠BAC=∠DCA，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM．
∵∠BAC=∠DAM，
∴∠DAM=∠OMC．
∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．
在△DAM中，∠D=90°，
∴∠DAM+∠DMA=180°-90°=90°．
∴∠OMC+∠DMA=90°．
∴∠AMO=90°，
∴AM⊥MO．
点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，
∴AM与⊙O相切．

点评 此题考查了切线的判定、矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．