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如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.

【答案】分析:(1)①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x=5-m,根据题意得方程组只有一组解时,化为关于x的方程得x2+(5-m)x+4=0,则△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,当m=9时,公共点不在第一象限,所以m=1;
(2)作DF⊥x轴,由DF∥OB得到△ADF∽△ABO,根据相似比可得到AF=,DF=,则D点坐标为(a-),然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值.
解答:解:(1)①把D(4,1)代入y=得a=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=(x>0);
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得
解得
所以直线l的解析式为y=-x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,
当方程组只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,
化为关于x的方程得x2+(5-m)x+4=0,
△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9时,解得x=-2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;

(2)作DF⊥x轴,如图,
∵点D为线段AB的n等分点,
∴DA:AB=1:n,
∵DF∥OB,
∴△ADF∽△ABO,
==,即==
∴AF=,DF=
∴OF=a-
∴D点坐标为(a-),
把D(a-)代入y=得(a-)•=a,
解得b=
点评:本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式;熟练运用相似比进行几何计算.
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(2013•资阳)如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=
ax
(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.

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(1)点C的坐标为______;点D的坐标为______.并求出抛物线的解析式;
(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.


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(1)点C的坐标为______;点D的坐标为______.并求出抛物线的解析式;
(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.


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