Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．当△ABC再满足什么条件时，四边形DFAE是正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 由在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△BED≌△CFD（AAS），即可得DE=DF，可得当∠A=90°时，四边形DFAE是矩形，即为正方形．

解答 解：当满足△ABC是以A为直角顶点的三角形时，四边形DFAE是正方形；理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵D为BC边上的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BED=∠CFD\\ \\∠B=∠C\\ \\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
又∵∠A=90°，
∴四边形AEDF为矩形，
∵DE=DF，
∴四边形DFAE为正方形．
即当△ABC满足△ABC是以A为直角顶点的三角形时，四边形DFAE为正方形．

点评 此题考查了正方形的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BED≌△CFD是解此题的关键．