Question

设△ABC的三边分别为a、b、c，其中a、b分别是方程x²-（c+2）x+2（c+1）=0的两实数根．
（1）试判断△ABC的形状？
（2）若△ABC为等腰三角形．求a、b、c的值？

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）根据根与系数的关系得到a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，把第一个等式两边平方，整理可得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，则a=b，且c=

2

a，利用a+b=c+2可计算出a，于是可得到b、c的值．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
根据题意得a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，
∴（a+b）²=（c+2）²，即a²+2ab+b²=c²+4c+4，
∴a²+4c+4+b²=c²+4c+4，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴a=b，且c=

2

a，
∴a+a=

2

a+2，
∴a=2+

2

，
∴b=2+

2

，
c=2+2

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；用到的知识点是勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性质．