Question

（2013•徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•AC；                  
（2）如果S_△ADE=3，S_△BDE=2，DE=6，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与S_△ADE=3，S_△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．

解答：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…（1分）
∴∠ABE=∠DEB．
∴BD=DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

DE

BC

…（1分）
∴

AE

AC

=

BD

BC

，
∴AE•BC=BD•AC；…（1分）

（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴

S△ADE

S△BDE

=

1 2 AD•h

1 2 BD•h

=

AD

BD

=

3

2

，…（2分）
∵DE∥BC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

． …（1分）
∴

6

BC

=

3

5

，
∴BC=10． …（2分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．