Question

【题目】如图，在△ABC，BA=BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、D，点F在BA的延长线上，且∠ACF=∠ABC,

（1）求证：直线CF是⊙O的切线； （2）若BC=5，sin∠ACF=，求CF的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠FCB=90°．

（2）证明△BAG∽△BFC，和解直角三角形即可得到结论．

解：（1）连接BD,∵BC是圆O的直径 ∴∠BDC=90度 ∴∠DBC+∠DCB=90度

∵BA=BC ∴∠DBC=∠ABC ∵∠ACF= ∠ABC, ∴∠DBC=∠ACF

∴∠ACF+∠DCB=90度 ∴∠FCB=90度 ∴直线CF是⊙O的切线

(2) 过点A作AG⊥CB于点G，

∵sin∠ACF= ，∠DCB=∠ CBF，

∴sin∠DCB=，；

∵∠BDC=90°，BC=5，

∴CD=BC·sin∠DCB= ，

∵BA=BC，∠BDC=90°，

∴AC=2CD=2，

∴AG=4

在Rt△ABG中，可求得GB=3，

∵GA//FC，

∴△BAG∽△BFC，

∴

∴CF=