Question

(2006，沈阳)如图(1)，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：

①AF=DE；②AF⊥DE．(不需要证明)

(1)如图(2)，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF．则上面的结论①，②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如图(3)，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

(3)如图(4)，在(2)的基础上，连结AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)成立． (2)成立． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC， 又∵CE=DF，∴△ADF≌△DCE， ∴∠F=∠E，AF=DE． ∵∠E＋∠CDE=90°，∴∠F＋∠CDE=90°， ∴∠FGD=90°，∴AF⊥DE． (3)正方形． 证明：∵AM=ME，AQ=DQ， ∴MO∥ED，， 同理NP∥ED，， ∴， ∴四边形MNPQ是平行四边形． ∵ME=MA，NE=NF，∴MN∥AF，， 又∵AF=ED，∴MQ=MN， ∴平等四边形MNPQ是菱形． ∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ， 又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ， ∴∠QMN=90°，∴菱形MNPQ是正方形．