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在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O在CB上,且AO平分∠BAC,CO=3(如图所示),以点O为圆心,r为半径画圆.
(1)r取何值时,⊙O与AB相切;
(2)r取何值时,⊙O与AB有两个公共点;
(3)当⊙O与AB相切时,设切点为D,在BC上是否存在点P,使△APD的面积为△ABC的面积的精英家教网一半?若存在,求出CP的长;若不存在,请说明理由.
分析:(1)⊙O与AB相切,则r等于圆的半径;
(2)⊙O与AB有两个公共点,则OA>OB;
(3)连接OD,过点P做PH⊥AB于H,根据PH∥OD,
PH
OD
=
PB
OB
,得到PH=
3
5
(8-x),再根据S△APD=
1
2
S△ABC,就可以求出PC的长.
解答:精英家教网解:(1)过点D作DO⊥AB于D,
∵∠1=∠2,∠C=90°,
∴OD=OC=3,
故当r=3时,⊙O与AB相切;

(2)在Rt△AOC中,AO=
AC2+OC2
=
62+32
=3
5

而OB=BC-OC=8-3=5,
∴OA>OB
∴当3<r≤5时,⊙O与AB有两个公共点;

(3)连接OD,过点P做PH⊥AB于H;精英家教网
设CP=x,则PB=8-x,
∵D为切点,
∴OD⊥AB,
∴PH∥OD,
PH
OD
=
PB
OB
PH
3
=
8-x
5

∴PH=
3
5
(8-x),
∵AC⊥OC,
∴AC切⊙O于C,
∴AD=AC=6;
∴S△APD=
1
2
AD•PH=
1
2
×6×
3
5
(8-x)=
72
5
-
9
5
x;
由题意:S△APD=
1
2
S△ABC
72
5
-
9
5
x=
1
2
×
1
2
×6×8

x=
4
3

故当PC=
4
3
时,存在P点,使S△APD=
1
2
S△ABC
点评:本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定方法,可以利用比较半径与圆心到直线的距离来比较得到.
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a
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a
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