Question

4．考虑三点A（2，6）、B（-2，1）及C（7，1）．若P为△ABC的垂心，求P的坐标．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出边AB上的高CE所在的直线解析式，同理：求出边BC上的高AD所在的直线解析式，联立此两解析式即可求出垂心点P的坐标．

解答 解：如图，

设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（2，6）、B（-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{5}{4}$x+3，
∴AB边上的高CE所在的直线的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{33}{5}$①
∵B（-2，1），C（7，1），
∴BC边上的高AD所在的直线的解析式为x=2②，
由①②得，x=2，y=5，
∴P（2，5）．

点评 此题主要考查了三角形的垂心，待定系数法，互相垂直的两直线的比例系数的乘积为-1，解本题的关键是知道三角形的垂心是三角形的三条高线所在直线的交点．