Question

1．平面上给定3个点，证明：可以作出4个同心圆，使（Ⅰ）这4个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（Ⅱ）这4个圆所成的3个圆环中，每个含有一个已知点．

Answer 1

分析 连接两个已知点的线段有3条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知3个点外，任取一点O为圆心．设O到这3个已知的距离为d₁，d₂，d₃，则它们两两不等且都大于0．接下来只要证明可以取得r₀，r₁，r₂，r₃为半径的同心圆满足所有的要求即可．

解答 证明：连接两个已知点的线段有3条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知3个点外，任取一点O为圆心．
设O到这3个已知的距离为d₁，d₂，d₃，则它们两两不等且都大于0．
不妨假设0＜d₁＜d₂＜d₃，则存在有理数r₁，r₂，r₃，使得d₁＜r₁＜d₂＜r₂＜d₃＜r₃，
将它们通分得r₁=$\frac{{P}_{1}}{M}$，r₂=$\frac{{P}_{2}}{M}$，r₃=$\frac{{P}_{3}}{M}$，这里M是它们分母的公倍数．
我们可以取M足够大，使$\frac{1}{M}$＜d₁，
令r₀=$\frac{1}{M}$，则以r₀，r₁，r₂，r₃为半径的同心圆满足所有的要求．

点评 本题考查圆综合题、线段的垂直平分线的性质、同心圆等知识，解题的关键是理解题意，本题的突破点是取点O在这些垂直平分线及已知3个点外，这是关键，题目比较抽象，属于属于竞赛题目．