Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点（不与点B、D重合），过点E作EF∥AB，且EF=AB，连接AE、BF、CF。

（1）若DE=DC，求证：四边形CDEF是菱形；

（2）若AB=，BC=3，当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为__________。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由CD//EF,CD=EF可证四边形CDEF是平行四边形，由于DE=DC可证四边形CDEF是菱形

（2）当四边形ABFE周长最小时此时AE⊥BD,利用勾股定理可求BD、AE、ED的长度，进而求四边形CDEF的周长即可

证明：（1）在矩形ABCD中CD∥AB,CD=AB,

∵EF∥AB， EF=AB

∴CD//EF,CD=EF

∴四边形CDEF是平行四边形，

又∵DE=DC

∴四边形CDEF是菱形

（2） 在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD=BC=3

∴

当四边形ABFE周长最小时,AE⊥BD

此时;BD= ,∠AED=90°

由（1）可知四边形CDEF是平行四边形

四边形CDEF的周长为

故：当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为