Question

（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x²-6x+9=

（x-3）²

，25x²+10x+1=

（5x+1）²

，4x²+12x+9=

（2x+3）²

．
（2）观察上述三个多项式的系数，有（-6）²=4×1×9，10²=4×25×1，12²=4×4×9，于是小明猜测：若多项式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想．

b²=4ac

（说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系．）
（3）若多项式x²+ax+c和x²+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的规律求ac的值．

Answer 1

分析：（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）观察上述三个等式，得到规律：若多项式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b²=4ac；
（3）利用（2）中得出的结论，列出关系式，整理后得到a=c，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为c的值，即可求出ac的值．

解答：解：（1）x²-6x+9=（x-3）²，25x²+10x+1=（5x+1）²，4x²+12x+9=（2x+3）²；
（2）观察得：若多项式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b²=4ac；
（3）∵多项式x²+ax+c和x²+cx+a都是完全平方式，
∴a²-4c=c²-4a=0，即a²-c²+4（a-c）=0，
分解因式得：（a-c）（a+c+4）=0，
由a+c+4≠0，可得a-c=0，即a=c，
可得a²-4a=0，即a（a-4）=0，
解得：a=0或a=4，即c=0或c=4，
则ac=0或16．
故答案为：（1）（x-3）²；（5x+1）²；（2x+3）²；（2）b²=4ac

点评：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．