Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝．其中正确结论的序号是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

作BF⊥AE于F，根据正方形的性质证明△APD≌△AEB即可判断①，根据△AEP为等腰直角三角形，得到∠APD＝135°，再求出∠PEB=90°，即可判断③，根据Rt△PED中，求出BE＝，再求出△BEF为等腰直角三角形，利用BF＝BE即可求出BF即可判断②，再根据S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四边形AEBP＝S△AEP+S△PBE即可求出④的正确性.

解：作BF⊥AE于F，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵AP⊥AE，

∴∠EAP＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△APD和△AEB中

，

∴△APD≌△AEB，所以①正确；

∵AE＝AP，∠PAE＝90°，

∴△AEP为等腰直角三角形，

∴∠4＝∠5＝45°，

∴∠APD＝135°，

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠PEB＝135°﹣∠4＝90°，

∴BE⊥ED，所以③正确；

在Rt△PED中，BE＝，

在Rt△BEF中，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝45°，

∴△BEF为等腰直角三角形，

∴BF＝BE＝×＝，所以②错误；

∵△APD≌△AEB，

∴S△APD＝S△AEB，

∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四边形AEBP＝S△AEP+S△PBE＝×1×1+××＝，所以④正确．

故答案为①③④．