Question

7．如图，已知：等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，E为边AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：
①∠BCE=∠AED；②△AED∽△ECB；③AD∥BC；④四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为$\frac{3}{2}$．其中正确的结论有①③④．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．

解答 解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$，CD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠B=∠DEC=45°，
∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；
即∠AEC=∠BCE；故①正确；
③∵$\frac{CD}{EC}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
即AD∥BC，故③正确；
②由③知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，
即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故②错误；
④△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=$\sqrt{2}$，AD=1；
故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+2）×1=$\frac{3}{2}$，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．