Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA＝CB.

⑴ 求点B的坐标；

⑵ 如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B.判断直线与⊙P的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】⑴点B（8，0） ⑵ 直线A′O′与⊙P相切

【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.

可以由已知坐标求出AF长，Rt△ACF≌Rt△BCE,可以求出BE＝AF，得到OB长.

(2) AB的中点即为圆心P,取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,利用旋转条件，RP⊥A′O′.,最终得到四边形RBO′Q是矩形, 圆心P到直线A′O′的距离，和半径相等，所以可以得到直线A′O′与⊙P相切.

⑴ 过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.

∴ ∠CFO＝∠CEO＝∠CEB=90°,∵ ∠AOB＝90°,

∴ 四边形FOEC是矩形 ,

∴ ∠FCE＝90° ,

∴ ∠ACE＋∠ACF＝90°,

由点C（7，7）得：CF＝CE＝7,

∴ ∠AOC＝∠BOC＝45°，OF＝CE＝7，OE＝CF＝7,

∴ ∠CBA＝∠COA＝45°，∠CAB＝∠COB＝45°,

∴ ∠CAB＝∠CBA , ∴ AC＝BC.

∵ 点A（0，6） ,∴ OA＝6,

∴ AF＝OF－OA＝7－6＝1 .

∵ ∠AOB＝90° , ∴ AB为⊙P的直径 ,

∴ ∠ACB＝90°,

∴ ∠ACE＋∠BCE＝90°,

∴ ∠ACF＝∠BCE .

在Rt△ACF和Rt△BCE中,

,

∴ Rt△ACF≌Rt△BCE,

∴ BE＝AF＝1,

∴ OB＝OE＋EB＝7＋1＝8,

∴ 点B（8，0） .

⑵ 直线A′O′与⊙P相切.

如图2，由AB是⊙P的直径可知：AB的中点即为圆心P,

取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,,

∴ PR∥OA，PR＝＝3 ,

∵ ∠AOB＝90° ∴ ∠QRB＝90°,

∵ △A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到,

∴ ∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝8,

∵ ∠AO′B＝90° ∴ ∠BO′Q＝90° 即：RP⊥A′O′.

∴ 四边形RBO′Q是矩形,

∴ ∠O′QR＝90°，RQ=BO′＝8 ,

∴ PQ＝RQ－PR＝8－3＝5,

∵ ⊙P的直径AB＝10,

∴ 圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5,

∴直线A′O′与⊙P相切.