Question

9．平面直角坐标系xOy中，已知A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 先根据△ACD的周长最小，求出点C关于直线x=1对称的点E的坐标，再运用待定系数法求得直线AE的解析式，并把D（1，m）代入，求得D的坐标，最后计算，△ABD的面积．

解答 解：由题可得，点C关于直线x=1的对称点E的坐标为（2，-1），
设直线AE的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
将D（1，m）代入，得
m=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
即点D的坐标为（1，-$\frac{2}{3}$），
∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AB×|-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故选（C）

点评 本题属于最短路线问题，主要考查了轴对称性质的运用以及待定系数法的运用，解决问题的关键是运用两点之间线段最短这一基本事实．