Question

16．如图1，直线l：y=x-1与y轴交于点A，与双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）在第一象限内交于点B，点P为点B上方的双曲线上一动点．
（1）求点B的坐标；
（2）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥AB于点N，若PM=$\sqrt{2}$PN，求点P的坐标．
（3）如图2，若点A关于x轴的对称点为点C，当点P运动时，直接写出PA²+PC²的最小值．

Answer 1

分析 （1）联立直线和双曲线的解析式解方程组即可得出结论；
（2）先判断出△PQN是等腰直角三角形，进而得出PQ=$\sqrt{2}$PN，即PM=PQ，设出点P的坐标，表示出PM，PQ，建立方程即可求解；
（3）先设出点P的坐标，进而用两点间的距离公式求出PA²+PC²，再用m²+（$\frac{6}{m}$）²≥2•m•$\frac{6}{m}$确定出最小值．

解答 解：（1）∵直线l：y=x-1与y轴交于点A，与双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）在第一象限内交于点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2）；

（2）∵直线l的解析式为y=x-1，
∴∠BAO=45°，
如图，过点P作PQ∥y轴交AB于Q，
∴∠PQN=45°，
∵PN⊥AB，
∴PQ=$\sqrt{2}$PN，
∵PM=$\sqrt{2}$PN，
∴PM=PQ，
∵点P为点B上方的双曲线y=$\frac{6}{x}$上一动点，
∴设P（m，$\frac{6}{m}$）（0＜m＜3），
∵PQ∥y轴，
点Q在直线AB上，
∴Q（m，m-1），
∴PM=m，PQ=$\frac{6}{m}$-（m-1）=$\frac{6}{m}$-m+1，
∴m=$\frac{6}{m}$-m+1，
∴m=-$\frac{3}{2}$（舍）或m=2，
∴P（2，3）；

（3）∵直线l：y=x-1与y轴交于点A，
∴A（0，-1），
∵点A关于x轴的对称点为点C，
∴C（0，1），
∵点P为点B上方的双曲线y=$\frac{6}{x}$上一动点，
∴设P（m，$\frac{6}{m}$）（0＜m＜3），
∴PA²+PC²=m²+（$\frac{6}{m}$+1）²+m²+（$\frac{6}{m}$-1）²
=2m²+$\frac{72}{{m}^{2}}$+2
=2（m²+$\frac{36}{{m}^{2}}$）+2
=2[m²+（$\frac{6}{m}$）²]+2，
∵m²+（$\frac{6}{m}$）²≥2×m×$\frac{6}{m}$=12（当且仅当m=$\frac{6}{m}$时，取等号，即m=-$\sqrt{6}$（舍）或m=$\sqrt{6}$）
∴PA²+PC²=2[m²+（$\frac{6}{m}$）²]+2≥2×12+2=26，
即：PA²+PC²的最小值为26．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了求两函数的交点坐标的方法，等腰直角三角形的判定和性质，两点间的距离公式，a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）解（1）的关键是联立方程组求解，解（2）的关键是判断出PM=PN，解（3）的关键是利用a²+b²≥2ab确定出最小值，是一道中等难度的题目．