Question

3．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+$\frac{4}{2}$，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
②若点的“k属派生点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标（1，2）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，写出k的值，并简写求k的思路．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=-1，b=-2，k=2代入（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）即可求出P′的坐标．
②由P′（3，3）可求出k=1，从而有a+b=3．任取一个a就可求出对应的b，从而得到符合条件的点P的一个坐标．
（2）设点P坐标为（a，0），从而有P′（a，ka），显然PP′⊥OP，由条件可得OP=PP′，从而求出k．

解答 解：（1）①当a=-1，b=-2，k=2时，
∴a+$\frac{b}{k}$=-1+$\frac{-2}{2}$=-2，ka+b=2×（-1）-2=-4．
∴点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）．
故答案为：（-2，-4）．
②由题可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{b}{k}=3}\\{ka+b=3}\end{array}\right.$，
∴ka+b=3k=3．
∴k=1．
∴a+b=3．
∴b=3-a．
当a=1时，b=2，此时点P的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．

（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了反比例图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，此题属于新定义下的阅读理解题，有一定的综合性．第（2）题中由OP=PP′得到a与ka之间的关系是本题的易错点，需要注意．