Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知弦CD⊥AB于E点，PC=3

3

，PB=3，求CD长；
（3）在（2）的条件下，已知弦CF平分∠OCD，求CF长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）由OA=OC得∠A=∠ACO，根据三角形外角性质得∠COB=2∠A，由于∠COB=2∠PCB，则∠A=∠PCB，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，则∠A+∠OBC=90°，易得∠PCB+∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理得PC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，在Rt△OCP中，由勾股定理可解得R=3，由于PB=OB=3，∠OCP=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得BC=

1

2

OP=3，则可判断△OCB是等边三角形，所以∠COB=60°，又由于CD⊥AB，根据垂径定理得CD=2CE，在Rt△OCE中，利用三角函数得到CE=OC•sin60°=

3 3

2

，所以CD=3

3

；
（3）连接OF，由弦CF平分∠OCD得到∠OCF=∠DCF，而∠OCF=∠OFC，则∠OFC=∠OCF，于是可判断OF∥CD，从而得到OF⊥AB；作CH⊥OF于H，如图，由∠COB=60°得到∠COH=30°，在Rt△OCH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得CH=

3

2

，OH=

3

CH=

3 3

2

，则HF=OH+OF=3+

3 3

2

，然后在Rt△CFH中，根据勾股定理得到CF²=HF²+CH²=（3+

3 3

2

）²+（

3

2

）²=9（2+

3

），再二次根式的化简即可得到CF=

3 6 +3 2

2

．

解答：（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠PCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠OBC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：R²+（3

3

）²=（R+3）²，解得R=3，
∵PB=OB=3，∠OCP=90°，
∴BC=

1

2

OP=3，即OC=CB=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=

3 3

2

，
∴CD=3

3

；
（3）解：连接OF，如图，
∵弦CF平分∠OCD，
∴∠OCF=∠DCF，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF∥CD，
而CD⊥AB，
∴OF⊥AB，
作CH⊥OF于H，如图，
∵∠COB=60°，
∴∠COH=30°，
在Rt△OCH中，OC=3，
∴CH=

3

2

，OH=

3

CH=

3 3

2

，
∴HF=OH+OF=3+

3 3

2

，
在Rt△CFH中，CF²=HF²+CH²
=（3+

3 3

2

）²+（

3

2

）²
=18+9

3

=9（2+

3

）
=9×

8+2 12

4

=9×（

6 + 2

2

）²，
∴CF=3×

6 + 2

2

=

3 6 +3 2

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．