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    问题探究：
    （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
    （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
    问题解决：
    （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

    【答案】分析：（1）画出互相垂直的两直径即可；
    （2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可；
    （3）当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP求出BP=EP，连接CP，求出S△BPC=S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP，即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可．
    解答：解：（1）如图1所示，

    （2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
    则直线EF、OM将正方形的面积四等份，
    理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，
    ∴AP=CQ，EB=DF，
    在△AOP和△EOB中
    ∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
    ∴∠AOP=∠BOE，
    ∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
    ∴△AOP≌△EOB，
    ∴AP=BE=DF=CQ，
    设O到正方形ABCD一边的距离是d，
    则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，
    ∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPOF，
    直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；

    （3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
    理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠A=∠EDP，
    ∵在△ABP和△DEP中

    ∴△ABP≌△DEP（ASA），
    ∴BP=EP，
    连接CP，
    ∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
    又∵BP=EP，
    ∴S△BPC=S△EPC，
    作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，
    由三角形面积公式得：PF=PG，
    在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP
    ∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
    即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，
    ∵BC=AB+CD=a+b，
    ∴BQ=b，
    ∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．
    点评：本题考查了正方形性质，菱形性质，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面积相等．
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    （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
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    （3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

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