分析 （1）只需先求出点E的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）过点F作PN⊥x轴于N，交EB于M，如图1，设点F的横坐标为m，就可用含m的代数式表示出FM的长，进而表示出△EFB的面积，然后运用二次函数的最值性就可解决问题；
（3）可先求出点C、G的坐标，然后求出AG、GC、AC，根据勾股定理的逆定理可得到∠AGC=90°，然后运用三角函数的定义求出tan∠GAC，由∠BAP=∠GAC可得到tan∠BAP．设直线AP与y轴的交点为Q，在Rt△AOQ中运用三角函数可求出OQ，从而得到点Q的坐标，进而求出直线OQ的解析式，然后通过解方程组，就可求出点P的坐标．
解答 解：（1）∵B（3，0），EO=BO，
∴EO=BO=3，E（0，-3）．
∵点B、E在抛物线y=ax2-2ax+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
设直线EB的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线EB的解析式为y=x-3；
（2）过点F作PN⊥x轴于N，交EB于M，如图1，
设点F的横坐标为m，则有
yF=m2-2m-3，yM=m-3，
∴MF=（m-3）-（m2-2m-3）=-m2+3m，
∴S△EFB=S△EFM+S△BFM
=$\frac{1}{2}$MF•ON+$\frac{1}{2}$MF•BN
=$\frac{1}{2}$OB•MF
=$\frac{1}{2}$×3×（-m2+3m）
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{8}$．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S△EFB取到最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，
此时yP=（$\frac{3}{2}$）2-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
则点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）连接GC，
由y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
可得顶点C（1，-4），对称轴为x=1．
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点A的坐标为（-1，0）．
由EG∥x轴，E（0，-3），
可得E、G关于对称轴x=1对称，
则有G（2，-3）．
根据两点之间的距离公式可得
AG=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
GC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AG2+GC2=AC2，
∴∠AGC=90°，
∴tan∠GAC=$\frac{GC}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠BAP=∠GAC，
∴tan∠BAP=$\frac{1}{3}$．
设直线AP与y轴交于点Q，
在Rt△AOQ中，tan∠BAP=$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OQ}{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴OQ=$\frac{1}{3}$，
∴点Q的坐标为（0，$\frac{1}{3}$）或（0，-$\frac{1}{3}$）．
①当点Q的坐标为（0，$\frac{1}{3}$）时，如图2①，
由A（-1，0）、Q（0，$\frac{1}{3}$）可得直线AP的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．
②当点Q的坐标为（0，-$\frac{1}{3}$）时，如图2②，
由A（-1，0）、Q（0，-$\frac{1}{3}$）可得直线AP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{11}{9}}\end{array}\right.$
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
综上所述：点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）或（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
点评 本题主要考查了二次函数的轴对称性、最值性、运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、三角函数的定义、勾股定理的逆定理、解一元二次方程、求直线与抛物线的交点、两点之间的距离公式等知识，综合性比较强；在解决问题的过程中，用到了分类讨论、待定系数法、配方法、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
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| A． | 扩大为原来的10倍 | B． | 分式的值不变 | ||
| C． | 缩小为原来的$\frac{1}{10}$ | D． | 缩小为原来的$\frac{1}{100}$ |
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| A． | 向左平移2个单位 | B． | 向右平移2个单位 | C． | 向左平移6个单位 | D． | 向右平移6个单位 |
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如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点M，OA=3，tan∠AMO=$\frac{3}{4}$，OM=OB．查看答案和解析>>
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在等腰△ABC中，顶角∠A=100°，作∠B的平分线交AC于点E，求证：AE+BE=BC．