Question

已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E．
（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E；
（2）如图2，当DE=D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定定理SAS证得△DAE≌△D′AE，则由“全等三角形的对应边相等”的性质证得结论；
（2）∠DAE=

1

2

∠BAC．根据旋转的性质和全等三角形的判定定理SSS证得△DAE≌△D′AE，则由“全等三角形的对应角相等”的性质推知∠DAE=

1

2

∠BAC．

解答：（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′=∠BAC=120°，AD=AD′．
∵∠DAE=60°，
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=120°-60°=60°，
∴∠DAE=∠D′AE．
在△DAE与△D′AE中，

AD=AD′ ∠DAE=∠D′AE AE=AE(公共边)

，
∴△DAE≌△D′AE（SAS），
∴DE=D′E（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：∠DAE=

1

2

∠BAC．理由如下：
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′=∠BAC，AD=AD′．
∴在△DAE与△D′AE中，

AD=AD′ DE=D′E AE=AE(公共边)

，
∴△DAE≌△D′AE（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE=

1

2

∠DAD′，
∵∠BAD′=∠BAC，
∴∠DAE=

1

2

∠BAC．

点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．旋转前、后的图形全等．