Question

13．已知二次函数y=x²+bx+c（b、c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（Ⅲ）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．

Answer 1

分析 （I）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；
（Ⅱ）利用∠OQC=∠QCO，得出OC=OQ，进而表示出两线段的长，进而得出答案；
（Ⅲ）结合对称轴得出m的取值范围，根据-4≤y≤2m，由①-2≤m＜-$\frac{3}{2}$，②当-$\frac{3}{2}$≤m≤-1时分别结合y的最值，求出m的值．

解答 解：（I）∵点A、C在二次函数的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=x²+2x-3，

（Ⅱ）如图，二次函数的对称轴为：x=-1，
∵PQ∥OC，
∴∠PQC=∠QCO，
∵∠OQC=∠QCO，
∴OC=OQ，
设Q（-1，t），
∴$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}}$，
解得：t=$±2\sqrt{2}$，
∴点Q的坐标为（-1，2$\sqrt{2}$）或（-1，-2$\sqrt{2}$）；

（Ⅲ）当m≤x≤m+1时，y的最小值为-4，
∴m≤-1≤m+1，
即-2≤m≤-1；
①-2≤m＜-$\frac{3}{2}$，y_max=m²+2m-3．
由m²+2m-3=2m，
解得m=$\sqrt{3}$（舍去）或m=-$\sqrt{3}$．
②当-$\frac{3}{2}$≤m≤-1时，y_max=（m+1）²+2（m+1）-3，
由（m+1）²+2（m+1）-3=2m，
解得m=0（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述：m的值为-$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及平行线的性质和待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．