Question

3．己知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$，
∴该菱形的面积是：$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．