Question

9．如图，正方形ABCD的边长为10+5$\sqrt{2}$，点E在边CB上，点F在AC的延长线上，EF⊥DE．若CE=CF，则CE的值为（　　）

• A． 5
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 10
• D． 10$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠DCE=90°，∠ACB=45°，由等腰三角形的性质得出∠CEF=∠F=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，求出∠CDE=22.5°，在∠DEC的内部作∠DEM=∠CDE=22.5°，交DC于M，则∠CME=∠CEM=45°，得出CE=CM，EM=DM=$\sqrt{2}$CE，得出$\sqrt{2}$CE+CE=10+5$\sqrt{2}$，即可得出CE的长．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，∠ACB=45°，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠F=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEC=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CDE=22.5°，
在∠DEC的内部作∠DEM=∠CDE=22.5°，交DC于M，如图所示：
∴∠CME=∠CEM=45°，
∴CE=CM，
∴EM=DM=$\sqrt{2}$CE，
∵DM+CM=DC，
∴$\sqrt{2}$CE+CE=10+5$\sqrt{2}$，
解得：CE=5$\sqrt{2}$；
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．