Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax²（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°．
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；
（2）确定抛物线y=ax²（a＞0）的解析式；
（3）当△AOB的面积为4时，求直线AB的解析式．

Answer 1

解：（1）A、B两点纵坐标的乘积是一个确定的值，理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+2，
由，
得ax²-kx-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂
则x₁，x₂为方程ax²-kx-2=0的两个实数根
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
∴y₁•y₂=ax₁²•ax₂²=a²（x₁•x₂）²=a²•（-）²=4．
∴A、B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值；

（2）解法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N（如图）
∵∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BON=90°
又∠OBN+∠BON=90°
∴∠AOM=∠OBN
∴Rt△AOM∽Rt△OBN
∴（注：写为同样正确）
∴-=
∴-x₁•x₂=y₁•y₂
∴-（-）=4
a=
∴所求抛物线的解析式为y=．
解法二：当直线AB平行于x轴时（如图），
由抛物线的对称性可知，A、B两点关于y轴对称
∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B（2，2）
将x=2，y=2代入y=ax²
得a=
∴所求抛物线的解析式为
y=x²；

（3）作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F（如图）
∴AE=MO，FB=ON
∵S_△AOB=S_△AOP+S_△BOP
=OP•AE+OP•FB
=×2（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=
=
=
=2
又S_△AOB=4
∴=2
由算术平方根的概念可得k²=4，k=±2
∴直线AB的解析式为y=2x+2或y=-2x+2．
分析：（1）应该是一个定值，可先设出直线AB的解析式，然后联立抛物线的解析式可得出一个关于x的方程，那么A，B两点的横坐标即为这个方程的两个根，然后可通过韦达定理求出A，B两点纵坐标积的值；
（2）可通过构建相似三角形来求解．作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，可通过相似三角形AMO和BNO得出关于AM，OM，BN，ON的比例关系式，其中，AM，OM分别为A点的纵坐标和横坐标的绝对值，BN，ON分别为B点纵坐标和横坐标，由此可仿照（1）通过韦达定理来求出a的值，即可得出抛物线的解析式；
（本题也可通过特殊值来求解，如设直线AB与x轴平行等）
（3）本题还用通过韦达定理来求解．可将三角形AOB分成两部分来求其面积．在三角形AOP中，可以OP为底，A的横坐标的绝对值为高，来求出三角形AOP的面积，同理可表示出三角形OBP的面积，然后根据韦达定理和三角形AOB的面积即可求出k的值．也就求出了直线AB的解析式．
点评：考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．