Question

已知抛物线与x轴相交于不同的两点A（，0），B（，0），（B在A的右边）又抛物线与y轴相交于C点，且满足，

（1）求证：4p+5q=0；
（2）问是否存在一个⊙O'，使它经过A、B两点且与y轴相切于C点，若存在，试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0），且（x₁<x₂），
    ∴
   由④：，∴，
   ∴-4p=5q，即4p+5q=0。
（2）设抛物线与y轴交于C（0，x₃），
   ∴x₃=q， 
   ∵ ⊙O′经过A（x₁，0），B（x₂，0）且与y轴相切于C点，
   a、当x₁<0，x₂<0时， 
   ∴，∴，解得：p=-，q=2，
   ∴抛物线，对称轴x=，
   ∴⊙O′的圆心：（，2）。
   b、当A、B在原点两侧时⊙经过A、B且与y轴相切不可能，
    ∴⊙O′不存在。
综上所述：当p=-，q=2时，此时抛物线为：，⊙O′的圆心O′为（，2）。