Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1，则AE= ；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）．

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；

（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；

②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；

（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE的表达式，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE=，

故答案为： ；

（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，

∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，

∴点O一定在△APE的外接圆上；

②连接OA、AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，

∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=，

即点O经过的路径长为；

（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：

则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，

设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE= =，

∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，

即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．