Question

8．如图，已知直线y=$\frac{1}{3}$x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）求点C的坐标与线段AD的长；
（2）点M在CD上，且CM=OM，求直线OM的解析式；
（3）把OM向左平移，使之经过点A，求平移后的OM的解析式．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、B坐标，由旋转的性质可求得OC和OD，则可求得AD的长；
（2）由勾股定理可求得CD的长，由条件可证得MD=MO，则可得M为CD的中点，利用待定系数法可求得直线OM的解析式；
（3）根据直线OM的解析式可设出直线AM的解析式，把A点坐标代入可求得直线AM的解析式．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{3}$x+1中，令y=0可得$\frac{1}{3}$x+1=0，解得x=-3，
令x=0可得y=1，
∴A（-3，0），B（0，1），
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD，
∴OC=OA=3，OD=OB=1，
∴C（0，3），AD=OA+OD=3+1=4；
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠MOC，
∵∠OCM+∠MDO=90°=∠COM+∠MOD，
∴∠MOD=∠MDO，
∴MD=OM，
∴M为CD中点，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线OM解析式为y=kx，
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$k，解得k=3，
∴直线OM解析式为y=3x；
（3）可设平移后的OM的解析式为y=3x+b，
∵OM向左平移后经过点A，
∴0=-9+b，解得b=9，
∴平移后的OM的解析式为y=3x+9．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、待定系数法及平移的性质．在（1）中利用旋转的性质求得OC、OD的长是解题的关键，在（2）中求得M点的坐标是解题的关键，在（3）中利用平移前后直线解析式中的k相等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．