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4.如图,AB∥CD,AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$,求AC,BD和CD的长.

分析 过A作AE⊥CD,交CD的延长线于E,过B作BF⊥CD,交CD的延长线于F,于是得到四边形ABFE是矩形,由AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$,求得AE=BF=3$\sqrt{3}$,EF=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,在Rt△ACE中,根据已知条件得到AC=$\sqrt{2}$AE=3$\sqrt{6}$,在Rt△BDF中,根据已知条件求得BD=BF•cos30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$,然后由线段的和差即可得到结论.

解答 解:过A作AE⊥CD,交CD的延长线于E,过B作BF⊥CD,交CD的延长线于F,
∴AE∥BF,
∵AB∥CD,
∴四边形ABFE是矩形,∵AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$,
∴AE=BF=3$\sqrt{3}$,EF=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
在Rt△ACE中,∵∠CAE=45°,
∴CE=AE=3$\sqrt{3}$,
∴AC=$\sqrt{2}$AE=3$\sqrt{6}$,
在Rt△BDF中,∵∠DBF=30°,
∴BD=BF•cos30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$,
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{4}$,
∴CD=CE+EF-DF=$\frac{44\sqrt{3}-27}{12}$.

点评 本题考查了解直角三角形,直角三角形的性质,矩形的性质,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

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