Question

19．如图，某景区的湖中有一个小岛A，湖边有一条笔直的观光大道BC，景区管理部门决定修建一座桥使小岛与观光大道相连接．现测得如下数据：BC=78m，∠ABC=38.5°，∠ACB=26.5°．请你帮助景区管理部门计算应该在距离B点多远的地方建桥，才能使桥的长度最短？（结果保留整数）
参考数据：
sin38.5°≈0.62  cos38.5°≈0.75  tan38.5°≈0.80
sin26.5°≈0.45   cos26.5°≈0.89  tan26.5°≈0.50．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，根据垂线段最短可知在D点处建桥，才能使桥的长度最短．设AD=xm，在Rt△BAD中表示出BD，在Rt△ACD中表示出CD，再由BC=78m，可得出方程，解方程得出AD的长度，进而求出BD即可．

解答 解：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°．设AD=xm，
在Rt△BAD中，tan∠ABD=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\frac{x}{tan38.5°}$≈$\frac{x}{0.80}$=$\frac{5}{4}$x，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{x}{DC}$，
∴DC=$\frac{x}{tan26.5°}$≈$\frac{x}{0.50}$=2x，
又∵BC=78m，
∴$\frac{5}{4}$x+2x=78，
解得：x=24，即AD=24m，
∴BD=30m．
答：应该在距离B点约30m远的地方建桥，才能使桥的长度最短．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．